なぜゼロの階乗を０！＝１と定めるのか、その２つの理由

高校数学の数学Aで突然現れるなぞの数式

０！＝１

は？

０じゃないの？

なんで１になるの？

その疑問、ごもっとも。

僕もそう思ったうちの一人だからです。

０！＝１

なぜこう定義するのか。

その意味を解説します。

規則性に基づく説明

１，２，６，２４，１２０，…

次の数、分かりますか？

次の数は、７２０です。

どんなルールになっているでしょう？

ひたすら掛け算を増やしていっているわけです。

でも掛け算をかきまくるのは長くて大変。

こういった数を表す記号が欲しくなり、

$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$

と定めたものが階乗のはじまりです。

さて、今までは、

１，２，６，２４，１２０，…

という数の並びを右向きに見ていました。

これを逆向きに眺めていきましょう。

すると、１！の左隣に０！がありそうです。

では、０！はどんな値をとるでしょうか？

今までの規則性を逆に眺めてみましょう

４！＝５！÷５

３！＝４！÷４

２！＝３！÷３

１！＝２！÷２

ということは、

０！＝１！÷１なのでは？

０！＝１っぽい！！！

以上。

なぜ０！＝１となるのか？

その理由の一つは

１！＝１，２！＝２，３！＝６，４！＝２４，５！＝１２０，…

と、階乗の数を並べ、それを逆向きに眺めると、

必然的に０！＝１となるからです。

規則性に基づくとそうならざる負えない、というのが理由①です。

次に他の見方も紹介します。

組み合わせによる説明

組み合わせによる説明をする際には、新たな記号が２つ必要になります。

①順列の公式　${}_n{\mathrm{P}}_k$

②組み合わせの公式　${}_n{\mathrm{C}}_k$

以上2つです。

①順列の公式　${}_n{\mathrm{P}}_k$について

例えばこんな問題を考えてみましょう

（問題）

A,B,C,Dの４人を横一列に並べる方法は、何通りあるか

解答

４人並べるので、４つのスペースを確保しておきます。

一つ目のスペースには、A,B,C,Dの４人誰が並んでもOKなので、４通り入り方があります。

例えば、Aが最初のスペースに入ったとしましょう

すると、２つ目のスペースに並べるのは、B,C,D の３人のみです。３通り

以下同様に、３つ目のスペースに並べるのは２通りで、４つ目のスペースに並べるのは１通りです。

これらのことから、求める答えは

５×４×３×２×１＝１２０（通り）となります。

５！＝１２０（通り）でもよいです。

さて、ではこんな問題はどうでしょう？

（問題）

A,B,C, Dの４人から２人選んで横１列に並べる方法は何通りか？

解答

先ほどの作業を途中で止めればOKです

２人並べるので、２つ場所を作ります。

最初のスペースに並べるのはA,B,C,Dの４人。すなわち４通りです。

最初のスペースにはAが座ったとしましょう。

次のスペースに座れるのはB, C, D の３人ですすなわち３通り。

よって求める答えは、４×３＝１２（通り）です。

４人から２選んで並べる、というのを数式で表したくなり、記号を与えたのが

${}_4{\mathrm{P}}_2$です。

すなわち、

${}_4{\mathrm{P}}_2=4\times 3=12$

です。

７人の中から３人選んで並べる

なら、

${}_7{\mathrm{P}}_3=7\times 6\times 5=210$（通り）

です。

②組み合わせの公式${}_n{\mathrm{C}}_k$について

組み合わせを考える際には、次の２つの問題を比べてみると分かりやすいです。

（問題）

A, B, C, D, E, Fの６人から２人選んで横一列に並べる。

並べ方は何通りか。

さっきと同じで、

${}_6{\mathrm{P}}_2=6\times 5=30$（通り）

となります。大切なのはここから。

この問題を考える際、ABとBAは、別の並び方ですよね。

これだけ押さえておいてください。

次の問題に行きましょう

（問題）

A, B, C, D, E, Fの６人から２人選んでグループを作るやり方は何通りあるか

はい。さっきの問題とほぼ同じ分ですが、数学的にはちょっと異なります

なにが異なるか分かりますか？

この問題では

AB　とBA　は、同じグループとみなさなければなりません。

だってグループ分けするだけですから。順番は関係ないのです。

この問題では、

${}_6{\mathrm{P}}_2=6\times 5$

という式だと多すぎます。

ABとBAのようなものを別々のものとしてカウントしているからです。

しかし今回はABとBAは同じものとして扱わないといけません。

A, B２つの慣れべ替えは、２！通りあるので、

６×５を２！で割る必要があります。

よって、この問題で求める数は、

${\displaystyle \frac{6\times 5}{2！}}=15$（通り）

となります。

${\displaystyle \frac{6\times 5}{2！}}$も記号が割り振られています。

${\displaystyle \frac{6\times 5}{2！}}={}_6{\mathrm{C}}_2$

と表します。

ここで、${\displaystyle \frac{6\times 5}{2！}}$に着目します。

分母は階乗で表されていますが、分子はそうではありません。

分母・分子、両方階乗で表したい！

という要望があり、ちょっと回りくどいですが

${\displaystyle \frac{6\times 5}{2！}}$

を変形します。

分母の６×５を６！にするには、４×３×２×１が必要です。

そこで、分子分母に４×３×２×１をかけます。

${\displaystyle \frac{6\times 5}{2！}}={\displaystyle \frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{2!\times 4\times 3\times 2\times 1}}={\displaystyle \frac{6!}{2!4!}}$

となります。

つまり、

${}_6{\mathrm{P}}_2={\displaystyle \frac{6!}{2!4!}}$

です。

ここで、さらに注目すべき点があります。

分母に注目しましょう。

$2!4!$

となっていますが、２＋４＝６です。

ちょっとすごくないですか？

２＋４＝６をちょっと変形します

４＝６－２です。

これを、４！に代入すると、

４！＝（６－２）！となります。

よって、

${}_6{\mathrm{C}}_2={\displaystyle \frac{6!}{2!4!}}={\displaystyle \frac{6!}{2!(6-2)!}}$

です！あとは、６をｎ、２をｒに置き換えると、、公式完成です。

${}_n{\mathrm{C}}_r={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}$

です。

さぁ、$0!=1$を説明する準備が整いました。

この公式を使って次の問題を問題を考えてみましょう。

A,B,C,D の４人から、４人を選んでグループを作る方法を求めよ

こんなもんは、ABCDの１通りに決まっていますが、あえてさっきの公式を使うと、

${}_4{\mathrm{C}}_4={\displaystyle \frac{4!}{4!(4-4)!}}={\displaystyle \frac{1}{0!}}$

となります。ここで、${}_4{\mathrm{C}}_4=1$であって欲しいので、

${\displaystyle \frac{1}{0!}}=1$でなければなりません。

よって、$0!=1$と定義すると都合がよいです。

要するに、$0!=1$

と定める理由の２つ目は、

${}_4{\mathrm{C}}_4=1$を成立させたいから、

という整合性による要求だったわけです

他にも、大学数学でマクローリン展開という道具をゲットすると、

また違った見え方がするのですが、

それは別の機会に紹介しようと思います。

ご期待ください。

まとめ

今回は、０！＝１と定める理由を２つ紹介しました

理由①　階乗の数を並べて逆向きに眺めたときの規則性から定まる

理由②　${}_4{\mathrm{C}}_4=1$という式を成立させるための整合性の要求から定まる

以上！

また次回の記事でお会いしましょう