高校数学の数学Aで突然現れるなぞの数式
０！＝１
は？
０じゃないの？
なんで１になるの？
その疑問、ごもっとも。
僕もそう思ったうちの一人だからです。
０！＝１
なぜこう定義するのか。
その意味を解説します。
規則性に基づく説明
１，２，６，２４，１２０，…
次の数、分かりますか？
次の数は、７２０です。
どんなルールになっているでしょう？
ひたすら掛け算を増やしていっているわけです。
でも掛け算をかきまくるのは長くて大変。
こういった数を表す記号が欲しくなり、
$n!=n×(n-1)×(n-2)×\cdots ×2×1$
と定めたものが階乗のはじまりです。
（定義）
$1$から$n$までの自然数を全てかけ合わせたものを、
$n$の階乗といい、
$n!=n×(n-1)×(n-2)×\cdots ×2×1$
で表す
さて、今までは、
１，２，６，２４，１２０，…
という数の並びを右向きに見ていました。
これを逆向きに眺めていきましょう。
すると、１！の左隣に０！がありそうです。
では、０！はどんな値をとるでしょうか？
今までの規則性を逆に眺めてみましょう
４！＝５！÷５
３！＝４！÷４
２！＝３！÷３
１！＝２！÷２
ということは、
０！＝１！÷１なのでは？
０！＝１っぽい！！！
以上。
なぜ０！＝１となるのか？
その理由の一つは
１！＝１，２！＝２，３！＝６，４！＝２４，５！＝１２０，…
と、階乗の数を並べ、それを逆向きに眺めると、
必然的に０！＝１となるからです。
規則性に基づくとそうならざる負えない、というのが理由①です。
次に他の見方も紹介します。
組み合わせによる説明
組み合わせによる説明をする際には、新たな記号が２つ必要になります。
①順列の公式 ${}_n \mathrm{P}_k$
②組み合わせの公式 ${}_n \mathrm{C}_k$
以上2つです。
①順列の公式 ${}_n \mathrm{P}_k$について
例えばこんな問題を考えてみましょう
（問題）
A,B,C,Dの４人を横一列に並べる方法は、何通りあるか
解答
４人並べるので、４つのスペースを確保しておきます。
一つ目のスペースには、A,B,C,Dの４人誰が並んでもOKなので、４通り入り方があります。
例えば、Aが最初のスペースに入ったとしましょう
すると、２つ目のスペースに並べるのは、B,C,D の３人のみです。３通り
以下同様に、３つ目のスペースに並べるのは２通りで、４つ目のスペースに並べるのは１通りです。
これらのことから、求める答えは
５×４×３×２×１＝１２０（通り）となります。
５！＝１２０（通り）でもよいです。
さて、ではこんな問題はどうでしょう？
（問題）
A,B,C, Dの４人から２人選んで横１列に並べる方法は何通りか？
解答
先ほどの作業を途中で止めればOKです
２人並べるので、２つ場所を作ります。
最初のスペースに並べるのはA,B,C,Dの４人。すなわち４通りです。
最初のスペースにはAが座ったとしましょう。
次のスペースに座れるのはB, C, D の３人ですすなわち３通り。
よって求める答えは、４×３＝１２（通り）です。
４人から２選んで並べる、というのを数式で表したくなり、記号を与えたのが
${}_4 \mathrm{P}_2$です。
すなわち、
${}_4 \mathrm{P}_2=4×3=12$
です。
７人の中から３人選んで並べる
なら、
${}_7 \mathrm{P}_3=7×6×5=210$（通り）
です。
②組み合わせの公式${}_n \mathrm{C}_k$について
組み合わせを考える際には、次の２つの問題を比べてみると分かりやすいです。
（問題）
A, B, C, D, E, Fの６人から２人選んで横一列に並べる。
並べ方は何通りか。
さっきと同じで、
${}_6 \mathrm{P}_2=6×5=30$（通り）
となります。大切なのはここから。
この問題を考える際、ABとBAは、別の並び方ですよね。
これだけ押さえておいてください。
次の問題に行きましょう
（問題）
A, B, C, D, E, Fの６人から２人選んでグループを作るやり方は何通りあるか
はい。さっきの問題とほぼ同じ分ですが、数学的にはちょっと異なります
なにが異なるか分かりますか？
この問題では
AB とBA は、同じグループとみなさなければなりません。
だってグループ分けするだけですから。順番は関係ないのです。
この問題では、
${}_6 \mathrm{P}_2=6×5$
という式だと多すぎます。
ABとBAのようなものを別々のものとしてカウントしているからです。
しかし今回はABとBAは同じものとして扱わないといけません。
A, B２つの慣れべ替えは、２！通りあるので、
６×５を２！で割る必要があります。
よって、この問題で求める数は、
$\dfrac{6×5}{2！}=15$（通り）
となります。
$\dfrac{6×5}{2！}$も記号が割り振られています。
$\dfrac{6×5}{2！}={}_6 \mathrm{C}_2$
と表します。
ここで、$\dfrac{6×5}{2！}$に着目します。
分母は階乗で表されていますが、分子はそうではありません。
分母・分子、両方階乗で表したい！
という要望があり、ちょっと回りくどいですが
$\dfrac{6×5}{2！}$
を変形します。
分母の６×５を６！にするには、４×３×２×１が必要です。
そこで、分子分母に４×３×２×１をかけます。
$\dfrac{6×5}{2！}=\dfrac{6×5×4×3×2×1}{2!×4×3×2×1}=\dfrac{6!}{2!4!}$
となります。
つまり、
${}_6 \mathrm{P}_2=\dfrac{6!}{2!4!}$
です。
ここで、さらに注目すべき点があります。
分母に注目しましょう。
$2!4!$
となっていますが、２＋４＝６です。
ちょっとすごくないですか？
２＋４＝６をちょっと変形します
４＝６－２です。
これを、４！に代入すると、
４！＝（６－２）！となります。
よって、
${}_6 \mathrm{C}_2=\dfrac{6!}{2!4!}=\dfrac{6!}{2!(6-2)!}$
です！あとは、６をｎ、２をｒに置き換えると、、公式完成です。
${}_n \mathrm{C}_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
です。
さぁ、$0!=1$を説明する準備が整いました。
この公式を使って次の問題を問題を考えてみましょう。
A,B,C,D の４人から、４人を選んでグループを作る方法を求めよ
こんなもんは、ABCDの１通りに決まっていますが、あえてさっきの公式を使うと、
${}_4 \mathrm{C}_4=\dfrac{4!}{4!(4-4)!}=\dfrac{1}{0!}$
となります。ここで、${}_4\mathrm{C}_4=1$であって欲しいので、
$\dfrac{1}{0!}=1$でなければなりません。
よって、$0!=1$と定義すると都合がよいです。
要するに、$0!=1$
と定める理由の２つ目は、
${}_4\mathrm{C}_4=1$を成立させたいから、
という整合性による要求だったわけです
他にも、大学数学でマクローリン展開という道具をゲットすると、
また違った見え方がするのですが、
それは別の機会に紹介しようと思います。
ご期待ください。
まとめ
今回は、０！＝１と定める理由を２つ紹介しました
理由① 階乗の数を並べて逆向きに眺めたときの規則性から定まる
理由② ${}_4 \mathrm{C}_4=1$という式を成立させるための整合性の要求から定まる
以上！
また次回の記事でお会いしましょう
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