三角関数の倍角の公式・３倍角の公式・半角の公式を証明

暗記不要。

加法定理を材料に、倍角・３倍角・半角の公式を導出します。

倍角の公式

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

(証明)

三角関数の加法定理

$\sin (\alpha +\beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

に、$\alpha =\beta=\theta$を代入する。

$\sin (\theta +\theta)=\sin \theta \cos \theta +\cos \theta +\sin \theta$

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

（証明終了）

一撃です。

次はコサインバージョンを示していきましょう。

$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$

$=1-2\sin^2\theta$

$=2\cos^2\theta -1$

です。

（証明）

三角関数の加法定理

$\cos (\alpha +\beta)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \cos \beta$

に$\alpha =\beta=\theta$を代入

$\cos (\theta+\theta)=\cos \theta \cos \theta -\sin \theta \sin \theta$

$\cos 2\theta =\cos^2\theta-\sin^2 \theta\cdots ①$

ここで、$\sin ^2\theta +\cos^2 \theta=1$

より、$\sin^2 \theta =1-\cos^2\theta$

これを①に代入。

$\cos 2 \theta=\cos^2\theta -(1-\cos^2\theta)$

$=2\cos^2\theta-1$

また、$\cos^2\theta =1-\sin^2\theta$

を①に代入すると、

$\cos 2\theta =(1-\sin^2\theta)-\sin^2\theta$

$\cos 2\theta=2\cos\theta -1$

となる。

(証明終了)

当然タンジェントバージョンもあります。

$\tan 2\theta=\dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$

(証明)

$\tan 2\theta=\dfrac{\sin 2\theta}{\cos2\theta}$

$\tan 2\theta=\dfrac{2\sin \theta\cos\theta}{\cos^2\theta-\sin \theta}$

右辺の分子分母を$\cos^2\theta$で割る

$\tan 2\theta =\dfrac{2\dfrac{\sin\theta \cos\theta}{\cos^2\theta}}{(\dfrac{\cos \theta}{\cos \theta})^2+(\dfrac{\sin \theta}{\cos\theta})^2}$

$\tan 2\theta=\dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2\theta}$

(証明終了)

三倍角の公式

まずはサインバージョン

$\sin 3\theta=3\sin \theta -4\sin^3\theta$

（証明）

$\sin (\alpha +\beta)=\sin \alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin \beta$

に$\alpha =2\theta, \beta=\theta$を代入。

$\sin (2\theta +\theta)=\sin 2\theta \cos \theta+\cos 2\theta \sin \theta$

ここで、$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta, \cos 2\theta=1-2\sin \theta$を代入。

$\sin 3\theta =(2\sin \theta \cos\theta)\cos\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta$

$=2\sin \theta \cos^2\theta+\sin \theta-2\sin^3\theta$

$=2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin \theta-2\sin^3\theta$

$=3\sin \theta-4sin^3\theta$

よって

$\sin 3\theta=3\sin \theta -4\sin^3\theta$

(証明終了)

コサインンバージョンもやっておきましょう

$\cos 3\theta=-\cos 3\theta+\cos^3\theta$

(証明)

$\cos (\alpha +\beta)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \cos \beta$

に$\alpha=2\theta, \beta=\theta$を代入

$\cos (2\theta +\theta)=\cos 2\theta\cos\theta-\sin 2\theta \sin \theta$

これに$\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1, \sin2\theta=2\sin \theta \cos\theta$を代入。

$\cos 3\theta=(2\cos^2\theta-1)\cos\theta-(2\sin\theta \cos\theta)\sin \theta$

$=2\cos^3\theta-\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta$

$=2\cos^3\theta-\cos\theta-2(1-\cos^2\theta)\cos\theta$

$=2\cos^3\theta-\cos\theta-2\cos\theta+2\cos^3\theta$

$=-3\cos\theta+4\cos^3\theta$

よって

$\cos 3\theta=-\cos 3\theta+\cos^3\theta$

(証明終了)

入試ではあまり見かけませんが、当然タンジェントの３倍角の公式もあります。

$\tan3\theta=\dfrac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan \theta}$

(証明)

$\tan 3\theta =\dfrac{\sin 3\theta}{\cos 3\theta}$

$=\dfrac{3\sin \theta-4\sin^3\theta}{-3\cos \theta+4\cos^3\theta}$

分子・分母を$\cos^3 \theta$で割る。

$\tan 3\theta=\dfrac{3\tan \theta \dfrac{1}{\cos^2\theta}-4\tan^3\theta}{-3×\dfrac{1}{\cos^2}+4}$

ここで、$\dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2 \theta$を代入。

$\tan 3\theta=\dfrac{3\tan \theta(1+\tan^2\theta)-4\tan^3\theta}{-3(1+\tan^2\theta)+4}$

$\tan 3\theta =\dfrac{3\tan \theta +3\tan^3\theta-4\tan^3\theta}{-3-3\tan^2\theta +4}$

$\tan3\theta=\dfrac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan \theta}$

半角の公式

半角の公式は主にコサインの２倍角の公式からスタートします。

まずはサインバージョンから。

$\sin^2 \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$

(証明)

倍角の公式より、

$\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$

よって、

$2\sin^2\theta=1-\cos 2\theta$

全体を２で割る。

$\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos 2\theta}{2}$

ここで、$\theta$を$\dfrac{\theta}{2}$に置き換える。

$\sin ^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$

(証明終了)

次はコサインバージョンです。

$\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$

(証明)

$\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$

より、

$2\cos^2\theta=1+\cos 2\theta$

全体を２で割る。

$\cos^2 \theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$

ここで、$\theta$を$\dfrac{\theta}{2}$に置き換える

$\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$

(証明終了)

最後にタンジェントバーションです。

$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$

(証明)

$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=(\dfrac{\sin \dfrac{\theta}{2}}{\cos\dfrac{\theta}{2}})^2$

$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$

（証明終了）

まとめ

いかがでしたか？

サイン・コサイン・タンジェントそれぞれの倍角・３倍角・半角の公式を確認しました

加法定理から全て導けることだけ知っておいていただけたなら幸いです。

また次回の記事でお会いしましょう！