対称式の基本定理の証明を分かりやすく丁寧に

（定義）

$n$この文字についての多項式

$f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$

が$n$の文字の並び替えすべてについて不変に保たれるとき、

$f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$を対称式であるという。

（問題１）

$\alpha^2+\beta^2$

を基本対称式で表せ

（問題１の解説）

基本対称式は

$\alpha +\beta$　と　$\alpha \beta$

です。

まず$\alpha +\beta$に注目しましょう。

これは１次の式です。

一方で、$\alpha^2+\beta^2$は２次の式です。

次数を上げる必要があります。

ここで、足し算、引き算、掛け算、割り算のうち、

次数を上げることができるのはどれか、ということを考えましょう。

掛け算ですよね。

なので、$\alpha +\beta$を二乗します。

$(\alpha +\beta)^2=\alpha^2+2\alpha \beta +\beta^2$

あとは、左辺の$2\alpha \beta$を移項すれば完了です。

$\alpha^2+\beta^2=(\alpha +\beta)^2-2\alpha \beta$

(問題２)

$\alpha^3 +\beta^3$

を基本対称式で表せ

（問題２の解説）

ほぼ問題１と同じノリです。

今度は$\alpha +\beta$を三乗しましょう

$(\alpha + \beta)^3=\alpha^3+3\alpha^2\beta+3\alpha \beta^2+\beta^3$

余分なものを移項して整理すると

$\alpha^3+\beta^3=(\alpha +\beta)^3-3\alpha^2\beta-3\alpha\beta^2$

よって、

$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha \beta(\alpha +\beta)$

となります。

(問題３)

$\alpha^3\beta+\alpha \beta^3+\alpha^3\gamma +\alpha \gamma^3+\beta^3\gamma+\beta\gamma^3$

を基本対称式で表せ

（問題３の解説）

お気づきでしょうか

問題３が問題１や問題２と比べて別次元に難しいということに。

難しい問題に出会ったときの対処法は、難しい原因を分析する、です。

今回の問題が難しい原因はなんでしょう？

一つは、文字が３つである点です。

問題１と問題２では文字が２つだったのに、いきなり３つになったらそりゃ難しいです。

そこで、今回は文字３つなんですが、なんとか文字２つの話に落とし込めないかな？

という発想でアプローチしていくことになります。

ここで、注意点が１つ。

それは、文字が２つの場合の基本対称式と、３つの場合の基本対称式は異なるという点です。

文字が２つの場合の基本対称式は

$\alpha +\beta$

$\alpha \beta$

でした。

一方、文字が３つだと、

$\alpha +\beta+\gamma$

$\alpha \beta+\beta \gamma +\gamma \alpha$

$\alpha \beta\gamma$

の３つです。

そこで、便宜上こいつらに添え字を振って区別することにしましょう。

「対称」という言葉は英語でシンメトリーというので、$s$を使うことにします。

$s_1=\alpha +\beta+\gamma$

$s_2=\alpha \beta+\beta \gamma +\gamma \alpha$

$s_3=\alpha \beta\gamma$

としましょう。

あと、文字が２つの場合の基本対称式を文字で置く必要があります。

しかし文字が足りないので、

苦肉の策でチェックをつけて対処することにします。

$\breve{s_1}=\alpha +\beta$

$\breve{s_2}=\alpha \beta$

とします。

$f(\alpha, \beta, \gamma)=\alpha^3\beta+\alpha \beta^3+\alpha^3\gamma +\alpha \gamma^3+\beta^3\gamma+\beta\gamma^3$

とします。

いきなり文字３つの対処は難しいので、まずは$\gamma=0$を代入して２変数で考えます。

$f(\alpha, \beta, 0)=\alpha^3\beta+\alpha \beta^3$

これなら２文字の基本対称式$\breve{s_1}$と$\breve{s_2}$で表せます。

$f(\alpha, \beta, 0)=\alpha^3\beta+\alpha \beta^3$

$=\alpha \beta(\alpha^2+\beta^2)$

$=\alpha \beta \lbrace (\alpha +\beta)^2-2\alpha \beta\rbrace$

$=\breve{s_2}(\breve{s_1}^2-2\breve{s_2})$

ここから少しアクロバティックなことをします。

何をするかというと、

$f(\alpha, \beta, \gamma)-s_2(s_1^2-2s_2)$

というものを考えます。

$\breve{s_1}$ではなく$s_1$を、$\breve{s_2}$ではなく$s_2$を使っている点に気を付けてください。

文字２つの基本対称式ではなく、文字３つの基本対称式を使うわけです。

本来３つの文字の話をしていたので、話を元に戻しているイメージです。

$F(\alpha, \beta, \gamma)=f(\alpha, \beta, \gamma)-s_2(s_1^2-2s_2)$

とおきます。

計算は結構大変です。まず$s_2s_1^2-2s_2$を計算しましょう。

$s_2(s_1^2-2s_2)=(\alpha \beta+\beta \gamma \gamma\alpha)\lbrace (\alpha +\beta+\gamma)^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha)$

$=(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)$

$=f(\alpha, \beta, \gamma)+\alpha^2\beta \gamma +\alpha \beta^2\gamma \alpha \beta \gamma^2$

です。よって、

$F(\alpha, \beta, \gamma)=f(\alpha, \beta, \gamma)-s_2(s_1^2-2s_2)$

$=f(\alpha, \beta, \gamma)-f(\alpha, \beta, \gamma)-(\alpha^2\beta \gamma +\alpha \beta^2\gamma \alpha \beta \gamma^2)$

$=-(\alpha^2\beta \gamma +\alpha \beta^2\gamma \alpha \beta \gamma^2)$

$=-\alpha \beta\gamma (\alpha +\beta+\gamma)$

$=-s_3s_1$

つまり、

$f(\alpha, \beta, \gamma)-s_2(s_1^2-2s_2)=-s_3s_1$

であり、

$f(\alpha , \beta, \gamma)=s_2(s_1^2-2s_2)-s_3s_1$

となります。

したがって、

$\alpha^3\beta+\alpha \beta^3+\alpha^3\gamma +\alpha \gamma^3+\beta^3\gamma+\beta\gamma^3$

は基本対称式で表されました！

（対称式の基本定理）

$n$この文字の多項式

$f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$

が対称式である場合、それは基本対称式

$s_1, s_2, \cdots, s_n$の多項式

$g(s_1, s_2, \cdots, s_n)$

で表すことができる。

（証明）

文字の個数$n$についての数学的帰納法で示す。

$i)$　$n=1$のときに対称式の基本定理が成り立つことを示す

このとき、文字は$\alpha_1$のみである。

１つの文字の入れ替え方は、入れ替えないという１通りしかない。

ゆえに$\alpha_1$の多項式は全て対称式となる。

また、文字が１つの場合の基本対称式は、

$s_1=\alpha_1$

である。

したがって、$n=1$のとき、対称式は必ず基本対称式で表される$\cdots ①$

$ii)$　$n=k$で対称式の基本定理が成り立つと仮定し、$n=k+1$でも成り立つことを示す。

$k+1$この文字についての対称式

$f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k, \alpha_{k+1})$

を任意にとる。

これが文字$k+1$この場合の基本対称式

$s_1, s_2, \cdots, s_{k+1}$

で表されればよい。

ここで、

$f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k, \alpha_{k+1})$

において、

$\alpha_{k+1}=0$としたものを

$\breve{f}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k)$とおく。

$\breve{f}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k)=f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k, 0)$

である。

$\breve{f}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k)$

は$k$この文字$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$につての対称式であるので、

帰納法の仮定より、文字が$k$この場合の基本対称式で表すことができる。

文字が$k$この場合の基本対称式を

$\breve{s_1}, \breve{s_2}, \cdots, \breve{s_k}$

とおくと、

$\breve{f}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k)=\breve{g}(\breve{s_1}, \breve{s_2}, \cdots, \breve{s_k})$

となる多項式

$\breve{g}(\breve{s_1}, \breve{s_2}, \cdots, \breve{s_k})$

が存在する。

ここで、この$\breve{g}(\breve{s_1}, \breve{s_2}, \cdots, \breve{s_k})$

について、$\breve{s_i}$を$s_i$　$(i=1, 2, \cdots, k)$に置き換えた

$\breve{g}(s_1, s_2, \cdots, s_k)$

を用いて$F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

を

$F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})=f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k, \alpha_{k+1})-\breve{g}(s_1, s_2, \cdots, s_k)$

と定義する。

$F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$は$k+1$この文字についての対称式となっている。

$F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})=f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k, \alpha_{k+1})-\breve{g}(s_1, s_2, \cdots, s_k)$

に$\alpha_{k+1}=0$を代入する。

$f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k, 0)=\breve{f}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k)$

と

$\breve{f}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k)=\breve{g}(\breve{s_1}, \breve{s_2}, \cdots, \breve{s_k})$

より、

$F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, 0)=0$

である。

したがって、

$F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

は$\alpha_{k+1}$で割り切れなくてはならない。

ここで、

$F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

は$k+1$この文字の対称式であったため、

$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1}$

は対等でなければならない。

ゆへに、

$F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

が$\alpha_{k+1}$で割り切れるなら、

$F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

は$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1}$のすべてで割り切れなければならない。

$F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

を$\alpha_1×\alpha_2×\cdots×\alpha_{k+1}$で割った後の多項式を

$f_1(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

とおくと、

$F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})=\alpha_1×\alpha_2×\cdots×\alpha_{k+1}×f_1(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

となり、

$\alpha_1×\alpha_2×\cdots×\alpha_{k+1}$が基本対称式$s_{k+1}$そのものであることに注意すると、

$F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})=s_{k+1}×f_1(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

となり、

$f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})=\breve{g}(\breve{s_1}, \breve{s_2}, \cdots, \breve{s_k})+s_{k+1}×f_1(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

となる。

$f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$と$\breve{g}(\breve{s_1}, \breve{s_2}, \cdots, \breve{s_k}+s_{k+1})$と$s_{k+1}$が対称式であることから、

$f_1(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

も対称式である。

よって、

$f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

が基本対称式で表されるためには、

$f_1(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

が基本対称式で表されればよい。

ここで、$f_1(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$の次数は$f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

より低いことに注意すると、

$f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

に対してここまで行ってきた議論と同様のことをすることによって

$f_1(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

よりさらに次数の低い対称式

$f_2(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

が定まる。

これを繰り返しておくことによってついには

$f(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{k+1})$

が基本対称式で表されることが分かる$\cdots ②$

①と②より、数学的帰納法から、対称式の基本定理は成り立つ。

（証明終了）