体の自己同型写像と方程式の解の置換

（体の同型写像の定義）

$F_1$と$F_2$を体とする。

写像$f: F_1$　$→$　$F_2$

が全単射で、かつ

$a, b \in F_1$に対して

$f(a+b)=f(a)+f(b)$

$f(ab)=f(a)f(b)$

を満たすとき、$f$を体の同型写像という。

$F_1, F_2$に対して体の同型写像が存在するとき、

$F_1$と$F_2$は同型であるといい、

$F_1 \cong F_2$と表す

（体の自己同型写像の定義）

体$F$から体$F$自身への同型写像を、

自己同型写像という

体$F$の自己同型写像全体からなる集合を、$Aut (F)$と表す

（定理：$Aut (F)$は群をなす）

$F$を体とする。このとき、$Aut (F)$は写像の合成$〇$について群をなす

($Aut (F)$が群をなすことの証明)

まず、$Aut (F)$が写像の合成$〇$について閉じていることを確認する。

$\sigma_1, \sigma_2 \in Aut(F)$について、

$\sigma_1 〇 \sigma_2 \in Aut (F)$であればよい。

$x, y \in F$について考える。

$\sigma_1〇\sigma_2(x+y)=\sigma_1 \lbrace \sigma_2(x+y) \rbrace$

$=\sigma_1\lbrace \sigma_2(x)+\sigma_2(y) \rbrace$

$=\sigma_1\lbrace \sigma_2(x)\rbrace + \sigma_1\lbrace \sigma_2(y)\rbrace$

$=\sigma_1 〇 \sigma_2(x)+\sigma_1 〇 \sigma_2(y)$…①

また、

$\sigma_1〇\sigma_2(xy)=\sigma_1 \lbrace \sigma_2(xy) \rbrace$

$=\sigma_1\lbrace \sigma_2(x)\sigma_2(y) \rbrace$

$=\sigma_1\lbrace \sigma_1(x)\rbrace \sigma_1\lbrace \sigma_1(y)\rbrace$

$=\sigma_1 〇 \sigma_2(x)\sigma_1 〇 \sigma_2(y)$…②

である。なお、$\sigma_1, \sigma_2$は全単射であるので、$\sigma_1〇\sigma_2$も全単射である。

①②より、$\sigma_1〇\sigma_2$もまた$F$の自己同型写像となるため、

$Aut (F)$は写像の合成に関して閉じていることが確認された…㋐

次に、単位元が存在することを確認する。

$e:F$　$→$　$F$

を恒等写像とする。すなわち、$x \in F$に対して、$e(x)=x$である。

$x, y \in F$に対して

$e(x+y)=x+y=e(x)+e(y)$

であり、

$e(xy)=xy=e(x)e(y)$

である。

よって、$e \in Aut(F)$である。

ここで、$\sigma \in Aut(F)$に対して

$e〇\sigma(x)=\sigma(x)$

$\sigma(x)〇e(x)=\sigma(x)$

であるので、$e$は$Aut (F)$の単位元となる…㋑

次に、$Aut (F)$が結合法則と満たすことを示す。

$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \in Aut (F)$に対して、

$\sigma_1〇(\sigma_2 〇 \sigma_3)=(\sigma_1 〇 \sigma_2)〇\sigma_3$

であればよい。

$x \in F$について、

$\sigma_1〇(\sigma_2 〇 \sigma_3)(x)=\sigma_1(\sigma_2(\sigma_3(x)))$

$(\sigma_1 〇 \sigma_2)〇\sigma_3=\sigma_1(\sigma_2(\sigma_3(x)))$

であるので、

$\sigma_1〇(\sigma_2 〇 \sigma_3)=(\sigma_1 〇 \sigma_2)〇\sigma_3$

であり、結合法則は成立する…㋒

最後に逆元が存在することを確認する。

$\sigma \in Aut (F)$について、$\sigma^{-1} \in Aut(F)$であればよい。

いま、$\sigma: F$　$→$　$F$

を考える。$\sigma$は全単射であるので、

$x \in F$にたいして、sigma(x)=a$となる$a \in F$がただ一つ存在する。

$x$から$a$への対応はただ1通りであるので、逆に$a$から$x$への対応もただ１通りに定まる。

これを$\sigma^{-1}$と表すことにする。すなわち、

$\sigma^{-1}(a)=x$である。

$\sigma^{-1} \in Aut (F)$を確認する。

$\sigma$が全単射であるので、$\sigma^{-1}$もまた全単射である。

$\sigma^{-1}(\sigma(x))=\sigma^{-1}(a)=x$

であるので、$\sigma^{-1}〇\sigma=e$である。

同様に、$\sigma〇\sigma^{-1}=e$である。

いま、$x, y, a, b \in F$について、

$\sigma(x)=a, \sigma^{-1}(a)=x, \sigma(y)=b, \sigma^{-1}(b)=y$とする。

$\sigma(x+y)=\sigma(x)+\sigma(y)$

$=a+b$

よって、$\sigma(x+y)=a+b$であり、

$\sigma^{-1}〇\sigma(x+y)=\sigma^{-1}(a+b)$

$x+y=\sigma^{-1}(a+b)$

$\sigma^{-1}(a)+\sigma^{-1}(b)=\sigma^{-1}(a+b)$

よって、$\sigma^{-1}(a+b)=\sigma^{-1}(a)+\sigma^{-1}(b)$

同様に、

$\sigma(xy)=ab$

$\sigma^{-1}〇\sigma(xy)=\sigma^{-1}(ab)$

$xy=\sigma^{-1}(ab)$

$\sigma^{-1}(a)\sigma^{-1}(b)=\sigma^{-1}(ab)$

よって、$\sigma^{-1}(ab)=\sigma^{-1}(a)\sigma^{-1}(b)$

したがって、$\sigma^{-1} \in Aut (F)$…㋓

㋐㋑㋒㋓より、$Aut (F)$は写像の合成〇に関して群となる

（証明終了）

（$L$の$K$上の自己同型の定義）

$L/K$を体の拡大とする。体$L$の自己同型写像で、$K$の元を不変に保つものを、

$L$の$K$上の自己同型という。

$L$の$K$上の自己同型全体の集合を$Aut_K(L)$と表す

（定理：自己同型で飛ばしたものもまた解になる）

$L/K$を体の拡大とする。

また、$\sigma \in Aut_K(L)$とし、

$f(x)$を、$K$を係数体とする$n$次多項式とする。

さらに、$f(x)=0$の解の一つを$\alpha$とし、

$\alpha \in L$でああるとする。

このとき、

$\sigma(\alpha)$もまた$f(x)=0$の解となる

（自己同型で飛ばしたものもまた解になるの証明）

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$とおく。

$a_1, \cdots, a_n \in K$である。

$f(\alpha)=0$が成り立つときに$f(\sigma (\alpha))=0$であることを示せばよい。

$\sigma \in Aut_K(L)$について、

$f(\alpha)=0$より、

$a_n \alpha^n +a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots +a_1\alpha +a_0=0$

である。よって、

$\sigma(a_n \alpha^n +a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots +a_1\alpha +a_0)=\sigma(0)$

となる。$\sigma$は四則演算を保存することと、$\sigma(0)=0$より、

$\sigma(a_n)\lbrace \sigma(\alpha) \rbrace^n+\cdots \sigma(a_1)\sigma(\alpha)+\sigma(a_0)=0$

である。ここで、$\sigma \in Aut_K(L)$であり、$\sigma$は$K$の元を不変に保つので、

$a_n\lbrace \sigma(\alpha) \rbrace^n +\cdots +a_1 \sigma(\alpha)+a_0=0$

$f(\sigma(\alpha))=0$

よって、$\sigma(\alpha)$もまた$f(x)=0$の解となることが示された。

（証明終了）